Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Bước 1

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Bước 1.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 8 \end{array} |$

Bước 1.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 8 \end{array} |$

Bước 1.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 8 \end{array} |$

Bước 1.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 8 \end{array} |$

Bước 1.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Bước 1.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Bước 1.1.9

Add the terms together.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 8 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 8 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Bước 1.2

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 3 \end{array} |$ .

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 8 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 8 \end{array} | + 0$

Bước 1.3

Tính $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 8 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 8 \end{array} | + 0$

Bước 1.3.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.1

Nhân $2$ với $8$ .

$- 2 (16 - 1 \cdot 3) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 8 \end{array} | + 0$

Bước 1.3.2.1.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 2 (16 - 3) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 8 \end{array} | + 0$

Bước 1.3.2.2

Trừ $3$ khỏi $16$ .

$- 2 \cdot 13 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 8 \end{array} | + 0$

Bước 1.4

Tính $| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 8 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot 13 + 5 (1 \cdot 8 - 1 \cdot 3) + 0$

Bước 1.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1.1

Nhân $8$ với $1$ .

$- 2 \cdot 13 + 5 (8 - 1 \cdot 3) + 0$

Bước 1.4.2.1.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 2 \cdot 13 + 5 (8 - 3) + 0$

Bước 1.4.2.2

Trừ $3$ khỏi $8$ .

$- 2 \cdot 13 + 5 \cdot 5 + 0$

Bước 1.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nhân $- 2$ với $13$ .

$- 26 + 5 \cdot 5 + 0$

Bước 1.5.1.2

Nhân $5$ với $5$ .

$- 26 + 25 + 0$

Bước 1.5.2

Cộng $- 26$ và $25$ .

$- 1 + 0$

Bước 1.5.3

Cộng $- 1$ và $0$ .

$- 1$

Bước 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Bước 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 5 - 2 \cdot 2 & 3 - 2 \cdot 3 & 0 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.1.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 2 & 8 - 3 & 0 - 1 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

Bước 4.2.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 5 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 5 + 2 \cdot - 3 & - 1 + 2 \cdot - 2 & 0 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & - 5 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 4.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - - 5 & - 1 \cdot 2 & - 1 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.4.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & - 2 & - 1 \end{array}]$

Bước 4.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 2 + 3 \cdot 5 & 1 + 3 \cdot - 2 & 0 + 3 \cdot - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & - 2 & - 1 \end{array}]$

Bước 4.5.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 13 & - 5 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & - 2 & - 1 \end{array}]$

Bước 4.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 1 - 3 \cdot 5 & 0 - 3 \cdot - 2 & 0 - 3 \cdot - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 13 & - 5 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & - 2 & - 1 \end{array}]$

Bước 4.6.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & - 14 & 6 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 13 & - 5 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & - 2 & - 1 \end{array}]$

Bước 4.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & - 14 - 2 \cdot 13 & 6 - 2 \cdot - 5 & 3 - 2 \cdot - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 13 & - 5 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & - 2 & - 1 \end{array}]$

Bước 4.7.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 40 & 16 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & 13 & - 5 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & - 2 & - 1 \end{array}]$

Bước 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} - 40 & 16 & 9 \\ 13 & - 5 & - 3 \\ 5 & - 2 & - 1 \end{array}]$